| 专利名称： | 一种公路随机车流风车桥耦合计算方法 | ||
| 专利名称(英文)： | A highway random flow wind-axle coupling calculation method | ||
| 专利号： | CN201510660754.4 | 申请时间： | 20151014 |
| 公开号： | CN105389458A | 公开时间： | 20160309 |
| 申请人： | 长安大学 | ||
| 申请地址： | 710064 陕西省西安市雁塔区二环南路中段126号 | ||
| 发明人： | 韩万水; 马麟; 武隽; 李彦伟; 肖强; 吴柳杰 | ||
| 分类号： | G06F19/00 | 主分类号： | G06F19/00 |
| 代理机构： | 北京名华博信知识产权代理有限公司 11453 | 代理人： | 李中强 |
| 摘要： | 本发明属于建筑和交通桥梁技术领域，具体地说，涉及一种公路随机车流风车桥耦合计算方法。本方法选取具有代表性的路段，采用交通信息采集系统和动态承重设备开展交通荷载调查，依据调查的结果将实际交通荷载中的车型进行分类，分别建立各个车型的动力分析模型，分车型采用不同的原理推导其运动方程，从而形成质量、刚度和阻尼矩阵, 针对不同的梁单元分析模型，建立车辆和桥梁系统间的几何及力学耦合关系, 编制车桥耦合随机振动分析系统，实现车桥耦合计算程序化，根据实际交通荷载调查，建立每一种典型车型所对应的车辆动力分析模型，形成完整的分析模型库，建立各种车辆的运动方程，从而达到准确计算分析车桥系统动力响应的目的。 | ||
| 摘要(英文)： | The invention belongs to the technical field of traffic bridge construction and, specifically, relates to a road random flow wind-axle coupling calculation method. The method of selecting a representative, the traffic information collecting system and dynamic bearing device in the investigation of traffic load, according to the results of the survey in the actual traffic load of the classification of the vehicle, various models are respectively set up the power analysis model, the principle of the different sub-models to derive the equation of motion thereof, so as to form a mass, stiffness and damping matrix, to different beam element analysis model, established between the vehicle and the bridge system geometry and mechanical coupling relation of, the preparation of the axle coupling random vibration analysis system, realizing axle coupling computing routinization, investigation according to the actual traffic load, the establishment of each corresponding to the typical models of vehicle power analysis model, form a complete analysis model library, the establishment of the equation of motion of the vehicle, so as to achieve accurate computational analysis the purpose of the power response to the axle system. | ||
1.一种公路随机车流风车桥耦合计算方法，其特征在于，具体步骤为： 1)进行典型路段交通荷载调查，选取具有代表性的路段，采用交通信息采 集系统和动态承重设备WIM开展交通荷载调查； 2)依据调查的结果将实际交通荷载中的车型进行分类，分别建立各个车型 的动力分析模型，按照车型的不同推导其运动方程，从而形成质量、刚度和阻 尼矩阵； 3)针对不同的梁单元分析模型，建立风-汽车-桥梁系统耦合关系系统间的 几何及力学耦合关系，在此基础上得出风-汽车-桥梁系统运动方程； 4)建立典型车型库，加入桥面空间路面粗糙度、车道及相向、车型、车辆 悬挂系统、车重、横向行驶位置、车速和障碍物位置和尺寸参数进行模拟。
2.根据权利要求1所述的一种公路随机车流风车桥耦合计算方法，其特征在于： 在第1)步典型路段交通荷载调查中，采用动态称重WIM设备、交通信息采用系 统、基于线阵CCD图像采集切割处理技术、数据统计分析数据包相结合建立全 自动自校核交通荷载采集系统，对国内典型地区的交通荷载信息进行实时监 测，采集经过典型路段观察断面的车辆速度、车辆横向行驶位置、行车方向、 车型、经过时间、车流量、占有率、车时距、车重信息。
3.根据权利要求1所述的一种公路随机车流风车桥耦合计算方法，其特征在于： 在第2)建立车辆动力分析模型与运动方程时,根据交通荷载调查，将实际交通中 的车型分为整体式车型和拖挂式车型两大类,其中整体式车型包括两轴车型、双 后轴三轴车型、双前轴三轴车型、四轴车型；拖挂式车型包括三轴拖挂车型、 四轴拖挂车型、拖车为两轴车的五轴拖挂车型、拖车为三轴车的五轴拖挂车型、 六轴拖挂车型。
4.根据权利要求3所述的一种公路随机车流风车桥耦合计算方法，其特征在于： 在建立整体式车型分析模型时，车体采用5个自由度：浮沉、横移、点头、侧滚 及摇头，每个车轮采用2个独立的自由度：横移和竖移；推导整体式车型运动方 程时，采用达朗贝尔原理。
5.根据权利要求3所述的一种公路随机车流风车桥耦合计算方法，其特征在于： 在建立拖挂式车型分析模型时，每个车体采用3个自由度：浮沉、点头及侧滚， 每个车轮采用1个自由度：竖移；推导拖挂式车型时，采用虚功原理。
6.根据权利要求1所述的一种公路随机车流风车桥耦合计算方法，其特征在于： 在3)步中，在风-汽车-桥梁系统安全性分析中考虑车轮相对于主梁的侧向位移， 建立车辆行驶于桥面上时车轮与桥面侧向独立自由度的运动方程。
7.根据权利要求1所述的一种公路随机车流风车桥耦合计算方法，其特征在于： 在3)步中，在风-汽车-桥梁系统安全性分析中考虑车轮相对于主梁的侧向位移， 建立车辆行驶于桥面上时车轮与桥面侧向独立自由度的运动方程，其具体步骤 为： 1).建立车辆的动力分析模型 将车辆模拟为刚体的组合，刚体之间通过轴质量块，弹性元件和阻尼元件 相互连接，用阻尼元件模拟悬挂系统和轮胎的耗能能力； 2).确定车辆悬挂系统，确定阻尼系数 将车辆在不平顺的桥面上模拟运行，通过由弹性元件和减振器组成的弹簧 悬挂系统来保证的运行的平稳性，将弹簧阻尼系统布置于车体和车轮之间作为 上层或车轮与桥面接触点之间作为下层，在考虑车轮相对于主梁的侧向位移时， 上层弹簧阻尼系统由车辆本身属性确定，下层弹簧阻尼系统的确定方法如下： a.车轮的侧滑力可以由车轮上的竖向力近似表达
1.一种公路随机车流风车桥耦合计算方法，其特征在于，具体步骤为： 1)进行典型路段交通荷载调查，选取具有代表性的路段，采用交通信息采 集系统和动态承重设备WIM开展交通荷载调查； 2)依据调查的结果将实际交通荷载中的车型进行分类，分别建立各个车型 的动力分析模型，按照车型的不同推导其运动方程，从而形成质量、刚度和阻 尼矩阵； 3)针对不同的梁单元分析模型，建立风-汽车-桥梁系统耦合关系系统间的 几何及力学耦合关系，在此基础上得出风-汽车-桥梁系统运动方程； 4)建立典型车型库，加入桥面空间路面粗糙度、车道及相向、车型、车辆 悬挂系统、车重、横向行驶位置、车速和障碍物位置和尺寸参数进行模拟。
2.根据权利要求1所述的一种公路随机车流风车桥耦合计算方法，其特征在于： 在第1)步典型路段交通荷载调查中，采用动态称重WIM设备、交通信息采用系 统、基于线阵CCD图像采集切割处理技术、数据统计分析数据包相结合建立全 自动自校核交通荷载采集系统，对国内典型地区的交通荷载信息进行实时监 测，采集经过典型路段观察断面的车辆速度、车辆横向行驶位置、行车方向、 车型、经过时间、车流量、占有率、车时距、车重信息。
3.根据权利要求1所述的一种公路随机车流风车桥耦合计算方法，其特征在于： 在第2)建立车辆动力分析模型与运动方程时,根据交通荷载调查，将实际交通中 的车型分为整体式车型和拖挂式车型两大类,其中整体式车型包括两轴车型、双 后轴三轴车型、双前轴三轴车型、四轴车型；拖挂式车型包括三轴拖挂车型、 四轴拖挂车型、拖车为两轴车的五轴拖挂车型、拖车为三轴车的五轴拖挂车型、 六轴拖挂车型。
4.根据权利要求3所述的一种公路随机车流风车桥耦合计算方法，其特征在于： 在建立整体式车型分析模型时，车体采用5个自由度：浮沉、横移、点头、侧滚 及摇头，每个车轮采用2个独立的自由度：横移和竖移；推导整体式车型运动方 程时，采用达朗贝尔原理。
5.根据权利要求3所述的一种公路随机车流风车桥耦合计算方法，其特征在于： 在建立拖挂式车型分析模型时，每个车体采用3个自由度：浮沉、点头及侧滚， 每个车轮采用1个自由度：竖移；推导拖挂式车型时，采用虚功原理。
6.根据权利要求1所述的一种公路随机车流风车桥耦合计算方法，其特征在于： 在3)步中，在风-汽车-桥梁系统安全性分析中考虑车轮相对于主梁的侧向位移， 建立车辆行驶于桥面上时车轮与桥面侧向独立自由度的运动方程。
7.根据权利要求1所述的一种公路随机车流风车桥耦合计算方法，其特征在于： 在3)步中，在风-汽车-桥梁系统安全性分析中考虑车轮相对于主梁的侧向位移， 建立车辆行驶于桥面上时车轮与桥面侧向独立自由度的运动方程，其具体步骤 为： 1).建立车辆的动力分析模型 将车辆模拟为刚体的组合，刚体之间通过轴质量块，弹性元件和阻尼元件 相互连接，用阻尼元件模拟悬挂系统和轮胎的耗能能力； 2).确定车辆悬挂系统，确定阻尼系数 将车辆在不平顺的桥面上模拟运行，通过由弹性元件和减振器组成的弹簧 悬挂系统来保证的运行的平稳性，将弹簧阻尼系统布置于车体和车轮之间作为 上层或车轮与桥面接触点之间作为下层，在考虑车轮相对于主梁的侧向位移时， 上层弹簧阻尼系统由车辆本身属性确定，下层弹簧阻尼系统的确定方法如下： a.车轮的侧滑力可以由车轮上的竖向力近似表达
技术领域
本发明属于建筑和交通桥梁技术领域，具体地说，涉及一种公路随机车流风车桥耦合计算方法。
背景技术
风环境下车桥耦合动力问题是进行桥梁设计时需要着重考虑的一个方面。随着我国经济的快速发展，对交通运输业提出了更多更高的要求，车辆类型和车辆行驶速度的增加，车辆载重量的加大，车流密度的变大，使得车辆在桥梁结构上运行时对桥梁产生的振动作用越来越明显，车桥之间相互影响问题越来越突出。
国内外对风车桥耦合问题研究时采用的分析模型都是由车辆模型和桥梁结构模型组成的多自由度分析系统，通过考虑路面粗糙度和外加激励作用，采用时域或频域法对结果进行求解。在车桥耦合系统中，路面粗糙度和车辆参数是比较重要的影响因素，而在现有的研究中针对路面状况的考虑都不充分，并且现有的公路桥梁车桥耦合车辆动力分析模型相对来说比较单一，覆盖面比较狭窄，完全不能涵盖公路桥梁上行驶的典型车辆。采用这种单一的车辆动力分析模型来分析车辆荷载作用下桥梁结构的动力响应必然会产生比较大的偏差，这样设计建造的桥梁在将来实际交通流作用下的使用性能和安全性将存在很大的问题。
针对上述情况，有必要根据实际交通荷载调查，分别建立每一种典型车型所对应的车辆动力分析模型，形成完整的公路桥梁车辆动力分析模型库。以此来建立各种车辆的运动方程，从而达到准确计算分析车桥系统动力响应的目的。
发明内容
为了克服现有技术的不足，本发明提供了一种公路随机车流风车桥耦合计算方法，根据实际交通荷载调查，分别建立每一种典型车型所对应的车辆动力分析模型，形成完整的公路桥梁车辆动力分析模型库。以此来建立各种车辆的运动方程，从而达到准确计算分析车桥系统动力响应的目的。
为了达到上述目的，本发明提出如下技术方案：
一种公路随机车流风车桥耦合计算方法，具体步骤为：
1)进行典型路段交通荷载调查，选取具有代表性的路段，采用交通信息采集系统和动态承重设备WIM开展交通荷载调查；
2)依据调查的结果将实际交通荷载中的车型进行分类，分别建立各个车型的动力分析模型，按照车型的不同采用不同的原理推导其运动方程，从而形成质量、刚度和阻尼矩阵；
3)针对不同的梁单元分析模型，建立风-汽车-桥梁系统耦合关系系统间的几何及力学耦合关系，在此基础上得出风-汽车-桥梁系统运动方程；
4)建立典型车型库，加入桥面空间路面粗糙度、车道及相向、车型、车辆悬挂系统、车重、横向行驶位置、车速和障碍物位置和尺寸参数进行模拟。
在第1)步典型路段交通荷载调查中，采用动态称重WIM设备、交通信息采用系统、基于线阵CCD图像采集切割处理技术、数据统计分析数据包相结合建立全自动自校核交通荷载采集系统，对国内典型地区的交通荷载信息进行实时监测，采集经过典型路段观察断面的车辆速度、车辆横向行驶位置、行车方向、车型、经过时间、车流量、占有率、车时距、车重信息。
在第2)建立车辆动力分析模型与运动方程时,根据交通荷载调查，将实际交通中的车型分为整体式车型和拖挂式车型两大类,其中整体式车型包括两轴车型、双后轴三轴车型、双前轴三轴车型、四轴车型；拖挂式车型包括三轴拖挂车型、四轴拖挂车型、拖车为两轴车的五轴拖挂车型、拖车为三轴车的五轴拖挂车型、六轴拖挂车型。
在建立整体式车型分析模型时，车体采用5个自由度：浮沉、横移、点头、侧滚及摇头，每个车轮采用2个独立的自由度：横移和竖移；推导整体式车型运动方程时，采用达朗贝尔原理。
在建立拖挂式车型分析模型时，每个车体采用3个自由度：浮沉、点头及侧滚，每个车轮采用1个自由度：竖移；推导拖挂式车型时，采用虚功原理。
在3)步中，在风-汽车-桥梁系统安全性分析中考虑车轮相对于主梁的侧向位移，建立车辆行驶于桥面上时车轮与桥面侧向独立自由度的运动方程。
在3)步中，在风-汽车-桥梁系统安全性分析中考虑车轮相对于主梁的侧向位移，建立车辆行驶于桥面上时车轮与桥面侧向独立自由度的运动方程，其具体步骤为：
1).建立车辆的动力分析模型
将车辆模拟为刚体的组合，刚体之间通过轴质量块，弹性元件和阻尼元件相互连接，用阻尼元件模拟悬挂系统和轮胎的耗能能力；
2).确定车辆悬挂系统，确定阻尼系数
将车辆在不平顺的桥面上模拟运行，通过由弹性元件和减振器组成的弹簧悬挂系统来保证的运行的平稳性，将弹簧阻尼系统布置于车体和车轮之间作为上层或车轮与桥面接触点之间作为下层，在考虑车轮相对于主梁的侧向位移时，上层弹簧阻尼系统由车辆本身属性确定，下层弹簧阻尼系统的确定方法如下：
a.车轮的侧滑力可以由车轮上的竖向力近似表达。
b.而上式可以改为如下形式
式中Cscyi可以视为安装于第i个车轮与桥面之间的侧向粘滞阻尼器的阻尼系数；因此，第i个车轮的侧滑力可以用安装于第i个车轮与桥面之间的具有阻尼系数Cscyi的特殊阻尼器来表示；阻尼系数由车轮竖向接触力确定，因此，在每一时间步内，必须要对Cscyi进行迭代直至Cscyi收敛；
3)选取车辆自由度
将车辆轮胎与桥面之间的侧向位移作为独立自由度；
4)根据达朗贝尔原理或虚功原理建立车辆的运动方程。
本发明的有益效果：
(1)本发明依据交通荷载调查，分别建立了整体式两轴车、三轴车(双后轴)、三轴车(双前轴)、四轴车和拖挂式三轴车、四轴车、五轴车(双前轴)、五轴车(双后轴)、六轴车的分析模型。运用达朗贝尔原理建立了整车车型的运动方程，从而可以得到整车车型的质量、刚度和阻尼矩阵；运用虚功原理推导了拖挂车的质量、刚度、和阻尼矩阵，分别建立每一种典型车型所对应的车辆动力分析模型，形成完整的公路桥梁车辆动力分析模型库。以此来建立各种车辆的运动方程，从而达到准确计算分析车桥系统动力响应的目的。
(2)本发明建立风车桥耦合，考虑实际环境中风力对车桥耦合的影响，建立了一个较为完善的风一汽车一桥梁系统空间耦合振动分析模型，此模型涵盖了三个部分的相互作用，该模型能够综合考虑桥梁的静风响应、抖振响应、汽车一桥梁耦合振动、风荷载对车辆的影响、系统的时变特性以及结构非线性和气动非线性的影响等。
(3)本发明可对侧风作用下行驶在振荡桥梁上的车辆安全性进行研究，还可对路面粗糙度、平均风速和车速对行驶在桥梁上车辆驾驶舒适性进行评价，同时，可计算侧风和车辆移动荷载对桥梁振动的影响。
附图说明
图1为典型路段交通荷载调查路线图；
图2为不同车辆动力分析模型横截面；
图3为双轴车动力分析模型立面；
图4为三轴车(双后轴)动力分析模型立面；
图5为三轴车(双前轴)动力分析模型立面；
图6为四轴车动力分析模型立面；
图7为三轴挂车动力分析模型立面；
图8为四轴挂车动力分析模型立面；
图9为五轴挂车(双前轴)动力分析模型立面；
图10为五轴挂车(双后轴)动力分析模型立面；
图11为六轴挂车动力分析模型立面；
图12为车轮与单主梁桥面的几何耦合关系图；
图13为单主梁模型车轮与桥面接触点处桥梁变形确定关系图；
图14为车轮与多主梁桥面的几何耦合关系；
图15为接触点与四个相邻节点的插值关系；
图16为桥梁与车轮的侧向耦合关系；
图17为本发明的风车桥耦合计算的流程图。
具体实施方式
下面将结合本发明实施例和附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
实施例
选取具有代表性的路段，采用交通信息采集系统和动态承重设备(WIM)开展交通荷载调查，依据调查的结果将实际交通荷载中的车型进行分类，分别建立各个车型的动力分析模型，分车型采用不同的原理推导其运动方程，从而形成质量、刚度和阻尼矩阵。针对不同的梁单元分析模型，建立车辆和桥梁系统间的几何及力学耦合关系，在此基础上得出车桥系统运动方程并求解。编制车桥耦合随机振动分析系统，实现车桥耦合计算程序化。
第一步，典型路段交通荷载调查。
采用动态称重(WIM)设备、交通信息采用系统、基于线阵CCD图像采集切割处理技术、数据统计分析数据包等硬软件相结合建立全自动自校核交通荷载采集系统对国内典型地区的交通荷载信息进行实时监测，采集经过典型路段观察断面的车辆速度、车辆横向行驶位置、行车方向、车型、经过时间、车流量、占有率、车时距、车重等信息，从而极大提高交通荷载调查效率和精度，调查的具体思路见图1所示。
第二步，车辆动力分析模型与运动方程的建立。
(a)动力分析模型的建立
根据交通荷载调查，将实际交通中的车型分为两大类，分别为整体式车型和拖挂式车型。其中整体式车型包括两轴车型、三轴车型(双后轴)、三轴车型(双前轴)、四轴车型，拖挂式车型包括三轴拖挂车型、四轴拖挂车型、五轴拖挂车型(拖车为两轴车)、五轴拖挂车型(拖车为三轴车)、六轴拖挂车型。
在建立整体式车型分析模型时，车体采用5个自由度：浮沉、横移、点头、侧滚及摇头，每个车轮采用2个独立的自由度：横移和竖移；对于拖挂式车型，每个车体采用3个自由度：浮沉、点头及侧滚，每个车轮采用1个自由度：竖移。推导整体式车型运动方程时，采用达朗贝尔原理，推导拖挂式车型时，采用虚功原理。
图2为各车辆动力分析模型横截面，图3为9种车辆动力分析模型立面。其中Zvr,Zvr1,Zvr2分别为不同车体对应的竖向位移；θvr,θvr1，θvr2分别为不同车体对应的X-Z平面内的俯仰角，表示Y-Z平面内的横摆角；
分别为第i个轴中线处2个质量块的竖向位移；
和
分别为第i个轴上层悬挂系统和下层悬挂系统的竖向弹簧刚度；
和
分别为第i个轴上层悬挂系统和下层悬挂系统的竖向阻尼；
为对应于第i个轴处左轮接触点的路面粗糙度；
为第i个轴处左轮接触点的桥梁位移；Li表示相应的轴距或车轴到车体重心距离；图2,3中下标L二表示左侧车轮，R表示右侧车轮。
(b)运动方程的建立：
1、整车车辆运动方程的建立：
两轴车车体运动方程
整个车辆可以分成5个刚体部件：1个车体、4个车轮。车辆总的独立自由度个数为13，可以表示如下：
车体Y方向的运动平衡方程为：
车体Z方向的运动平衡方程为：
车体绕X方向的运动平衡方程为：
车体绕Y方向的运动平衡方程为：
车体绕Z方向的运动平衡方程为：
两轴车车轮运动方程
前轴左侧刚体在Y和Z方向的运动方程为：
后轴左侧刚体在Y和Z方向的运动方程为：
前轴右侧刚体在Z和Y方向的运动方程为：
后轴右侧刚体在Z和Y方向的运动方程为：
三轴车(双后轴)车体运动方程
整个车辆可以分成7个刚体部件：1个车体、6个车轮；车辆的总的独立自由度个数为17，可以表示如下：
车体Y方向的运动平衡方程为：
车体Z方向的运动平衡方程为：
车体绕X方向的运动平衡方程为：
车体绕Y方向的运动平衡方程为：
车体绕Z方向的运动平衡方程为：
1.4三轴车(双后轴)车轮运动方程
前轴左侧刚体在Y和Z方向的运动方程为：
中轴左侧刚体在Y和Z方向的运动方程为：
后轴左侧刚体在Y和Z方向的运动方程为：
前轴右侧刚体在Z和Y方向的运动方程为：
中轴右侧刚体在Z和Y方向的运动方程为：
后轴右侧刚体在Z和Y方向的运动方程为：
三轴车(双前轴)车体运动方程
整个车辆可以分成7个刚体部件：1个车体、6个车轮；车辆的总的独立自由度个数为17，可以表示如下：
车体Y方向的运动平衡方程为：
车体Z方向的运动平衡方程为：
车体绕X方向的运动平衡方程为：
车体绕Y方向的运动平衡方程为：
车体绕Z方向的运动平衡方程为：
1.6三轴车(双前轴)车轮运动方程
前轴左侧刚体在Y和Z方向的运动方程为：
中轴左侧刚体在Y和Z方向的运动方程为：
后轴左侧刚体在Y和Z方向的运动方程为：
前轴右侧刚体在Z和Y方向的运动方程为：
中轴右侧刚体在Z和Y方向的运动方程为：
后轴右侧刚体在Z和Y方向的运动方程为：
1.7四轴车车体运动方程
整个车辆可以分成9个刚体部件：1个车体、8个车轮，四轴八轮车辆的总的独立自由度个数为21，可以表示如下：
车体Y方向的运动平衡方程为：
车体Z方向的运动平衡方程为：
车体绕X方向的运动平衡方程为：
车体绕Y方向的运动平衡方程为：
车体绕Z方向的运动平衡方程为：
四轴车车轮运动方程
前轴(一)左侧刚体在Y和Z方向的运动方程为：
前轴(二)左侧刚体在Y和Z方向的运动方程为：
后轴(三)左侧刚体在Y和Z方向的运动方程为：
后轴(四)左侧刚体在Y和Z方向的运动方程为：
前轴(一)右侧刚体在Z和Y方向的运动方程为：
前轴(二)右侧刚体在Z和Y方向的运动方程为：
后轴(三)右侧刚体在Z和Y方向的运动方程为：
后轴(四)右侧刚体在Z和Y方向的运动方程为：
2、拖挂车车辆运动方程的建立：
三轴拖挂车车辆运动方程
整个车辆可以分成8个刚体部件：2个车体、6个车轮。由于可以由
来表达，所以车辆总的独立自由度个数为11，可以表示如下：
上层左右侧竖向弹簧的竖向相对位移为：
下层左右侧竖向弹簧的竖向相对位移为：
拖车和挂车之间有一个连接点，通过连接点处的竖向位移协调可得到下式：
车辆惯性力、阻尼力、弹性力所做的虚功分别为：
2.2四轴拖挂车车辆运动方程
整个车辆可以分成10个刚体部件：2个车体、8个车轮。车辆总的独立自由度个数为13，可以表示如下：
自由度之间关联：
车辆惯性力、阻尼力、弹性力所做的虚功分别为：
2.3五轴拖挂车(双前轴)车辆运动方程
整个车辆可以分成12个刚体部件：2个车体、10个车轮。车辆总的独立自由度个数为15，可以表示如下：
自由度之间关联：
车辆惯性力、阻尼力、弹性力所做的虚功分别为：
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